P6327 题解：区间加，其实是在转圈

题目链接。每次给一段数都加上 $d$，或者查询这一段的 $\sum\sin a_i$，角度按弧度计算。

只存正弦和无法更新：$\sin(a+d)$ 还依赖 $\cos a$，所以节点要把两者一起存。

把区间加法看成旋转

每个角度对应向量 $(\cos a,\sin a)$。加上 $d$，由两角和公式：

对整个区间求和，记 $S=\sum\sin a_i$、$C=\sum\cos a_i$，就得到合向量的旋转：

合并孩子时，$S$、$C$ 分别相加，不需要区间长度。

懒标记只记角度增量

连续旋转 $d_1$、$d_2$，等于旋转 $d_1+d_2$，标记直接相加。下传给两个孩子后，清空父标记。

代码

#include <cmath>

struct Node {
    double s = 0, c = 0;
    long long lazy = 0;
};

void apply(Node& node, long long d) {
    double sn = std::sin(d), cs = std::cos(d);
    double s = node.s, c = node.c;
    node.s = s * cs + c * sn;
    node.c = c * cs - s * sn;
    node.lazy += d;
}

Node merge(Node left, Node right) {
    return {left.s + right.s, left.c + right.c, 0};
}

更新两项时都要使用旧的 $S$、$C$，不能先覆盖 node.s，再拿新值算 node.c。查询输出按题目要求保留一位小数；累计角度用 long long，和与三角函数使用 double。

建树 $O(n)$，单次修改、查询 $O(\log n)$，空间 $O(n)$。

本文原发表于洛谷专栏。